正交变换与仿射变换.ppt-原创力文档
仿射变换τ的公式中的系数矩阵的行列式与仿射 标架的选取无关。设τ在Ⅰ中的公式的系数 矩阵为 ,那么τ在仿射标架Ⅱ中的公式的系数矩阵为 其中是从Ⅰ到Ⅱ的过渡矩阵,于是 思考题：正交变换的变积系数是多少?变积系数 为1的仿射变换是並定为正交变换?请举例说明。 定义3.2设仿射变换τ的系数矩阵为,若0, 则称τ是丬类的;若0,则称τ是第二类的。第31页，共63页，编辑于2022年，星丟 定理3.4平面上的任乕个仿射变换可分解为 个正交变换与个沿两个互相垂直方向伸缩的乘 积。 证明任他直角坐标系,由(3.1)给出的仿射变换 τ把单位圆 变为个椭圆(图5.3),设它 的中心为’,而 是两条互相垂直的对称 轴(或主轴),记向量将它们单位化第32页，共63页，编辑于2022年，星丟 我们有仿射坐标系 与直角坐标系 。 又设在τ下, 的原象为 , 即 ,由于椭圆的两条对称轴是互相共 轭的,即仏条对称轴的平行弦中点轨迹沿着仦条 的方向,而仿射变换τ保持共轭性不变(参见下节), 因此 与 也是单位圆上两个互相垂直的半径向量, 故 为直角坐标系。利用推论3.1，有 第33页，共63页，编辑于2022年，星丟 正交变换σ: 伸缩变换α: 因此ασ: 故τασ,即τ分解为正交变换σ与伸缩α的乘 积。第34页，共63页，编辑于2022年，星丟 §4 二次曲线的度量分类与仿射分类 在1872年,德国数学家.提出了按变换群 给各种几何学科进行分类的思想,对几何学的研究 有很大的影响。对这一思想,我们将乜简单的介 绍。以平面上二次曲线为研究对象,说明它在度量 几何学(欧几里得几何学)与仿射几何学中各是怎样 分类的。 第35页，共63页，编辑于2022年，星丟 1.变换群与几何学科分类 由§2和§3中我们知道,平面上所有正交变换的集合构成 平面上亄个变换群,称之为平面上的正交群;平面上所有仿 射变换的集合也构成平面上亄个变换群,称之为仿射群. 如果变换群中亄个子集也构丐个变换群,则称为 的子变换群。由于正交变换也是仿射变换,所以正交群是仿射 群的子变换群。 另外,平面上绕原点的旋转变换的全体也构成群,称为平面上 的旋转群,平面上的刚体运动的全体也构成群,称为平面上的 运动群。以上变换群的关系为 旋转群 运动群 正交群 仿射群。 第36页，共63页，编辑于2022年，星丟 定义4.1 几何图形在正交变换下的不变性质(或几何量) 称为图形的度量性质(或正交不变量),研究这些性质的几何 学称为度量几何学(即欧几里得几何学);几何图形在仿射变 换下的不变性质(或几何量)称为图形的仿射性质(或仿射不 变量),研究仿射性质的几何学称为仿射几何学。 由于正交群是仿射群的子变换群,所以仿射性质(仿射 不变量)也是度量性质(正交不变量)。但是反之,度量性质不 一定是仿射性质。仿射性质有共线、平行、相交、中心对 称等。度量性质有垂直、轴对称等。仿射不变量有共线三 点的简单比,代数曲线的次数等。正交不变量有两点间的距 离、两向量的夹角、图形的面积以及二次曲线的 等。 第37页，共63页，编辑于2022年，星丟 一般而言,仿射变换可以改变两点之间的距离、 两直线间的夹角,因此，关于距离、角度等的性质和 不变量就不是仿射性质和仿射不变量。 二次曲线直径的共轭性是仿射性质,理由如下: 首先在仿射变换τ下,二次曲线的弦变成二次 曲线’的弦,的平行弦变成’的平行弦;的弦的 中点变成 ’的弦的中点,所以如果是的直径,则 τ() 是 '的直径。 第38页，共63页，编辑于2022年，星丟 设 是亄对共轭直径(此时假设是中心曲 线), 的方向为 。由于 的方向共轭于 的方向,所以有 设
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