大智数学研究院 | 抓住数学本质 提升数学思维
例如:2019年全国理9】记
为等差数列
的前
项和,已知
, 则( )。
.
.
.
.
本题利用等差数列的基础公式和通性解法很容易得到答案。
以丰富的数学本质为思想
新时代数学的考查,一定是以考查理性思维为重点目标,将基础性和创新性作为重点,以数学基础知识为载体,重点考查理性思维和逻辑推理能力。要学会数学的思维,掌握数学本质,提高数学的能力。
例如:已知:
中,
,
求证:
。
将原三角形反转得丰个新的三角形,证明两三角形全等即可。这种完全遵循数学理论和数学本质的思维值得我们学习。
以高强的数学思维为武装
有区分度的数学题往往给学丟种无从下手的感觉,这就是缺少数学思维的训练原因。在平时学习的时候,一定要思考如何由已知条件,通过等价转化得到我们想要的东西。
例如:2019年全国文21】已知点
关于坐标原点
对称,
,
过点
且与直线
相切。
(1)若
在直线
上,求
的半径;
(2)是否存在定点
,使得当
运动时,
为定值?并说明理由。
解析】(1)在
中,由垂径定理可知
所在直线的斜率为
,
在
的中垂线上,故
斜率为1。设
,令点
在第二象限,由
与直线
相切可得
。
又在
中,
,即
解得
或
故
或
。
(2) 设
,
。由垂径定理可得点
的横坐标
点
的纵坐标
故
,又
, 可得
化简得
, 所以点
的轨迹方程为
,即为抛物线。
设该抛物线焦点为
,准线
交
于
,则有
故存在定点
,使得当
运动时,
为定值1。
这道题的得分率很低,为什么?就是因为说好的韦达定理不见了,新的题目环境变化了,不知道怎么思考,缺少思维活动经验。
以独立的数学探究为习惯
很多学生上课时思路很清晰,但是自己独立思考问题的时候却寸步难行,这就是缺少独立思考探究的习惯造成的。考试的时候时间紧,任务重,为了能够快速解决这样的问题,同学们必须在平时训练独立思考,独立探究的习惯,体验由已知到未知的探究过程,提高分析问题的能力。
例如:2019年济南高二下学期期末】如图,四边形
为过圆柱轴的截面,
,
交
于点
,
为底面圆周上异于
的动点,点
在
上,且
连接
,则当三棱锥
体柯大时,点
到圆柱下底面的距离为( )。
.
.
.1 .
解析】:设
,则
又
,则
易证,
平面
, 则
当且仅当
, 即
, 亦即
取等号此时,易得点
到圆柱下底面的距离为
, 答案选。
以灵活的解题能力为素养
较好的解题能力丯个优秀学生必备的关键能力。解万题,研百律,究上法。通过刷题,研究解题规律,探乶题多解,寻找较好的解题方法,提高解题速度,进而可以提高速度。
例如:设正数
满足
恒成立,则
构小值是。
解析】 法 (直接法)因为
所以恒有
因为
所以
则
法(换元法)因为
令
则
所以
则
法(三角换元)因为
令
,则
所以
则
法(柯西不等式)
因为
所以
则
总之,在新时代教育背景下,同学们定要夯实基础,培养数学思维。不仅要重视数学结论,更要学会独立思考,反套路化解题,丰富解题能力,提高数学素养!
文大智数学研究院院长牛彦茗
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大智《数学解题研究》
初中版高中版二选一
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