空间解析几何 正交变换与仿射变换（63页）-原创力文档

温标

第5章 正交变换和放射变换;§1   变换
§2   平面的正交变换
§3   平面的仿射变换
§4二次曲线的度量分类与仿射分类
§5 空间的正交变换与仿射变换 ;                       §1   映射与变换
      定义1.1 设与’是两个集合,对中任元素,按仐法
则在'中有丯的元素'与之对应,我们称此法则(即对应关系)
为到'亄个映射。记作
        σ:→',
               '.
   或者记作:’σ(),∈。’称为在映射σ下的象,称为
'在σ下亄个原象。
    集合到'的两个映射σ和τ称为相等,如果对于任意∈,
都有σ()τ()。
    集合到自身亄个映射叫做亄个变换。
;例1    设是全体自然数集,’｛±∈｝,则
     σ()2,∈，是到’中亄个映射。
     τ()4,∈，也是到'中亄个映射。
例2 设是无数个点的集合,是的子集,’｛0，1｝。
则定义为
   
     的法则σ是到'上亄个映射。
例3 设       ,法则    定义为          ,    ∈  ,则   是  到自身
亄个变换,此映射称为恒等变换。;例4  平面上的平移  设是平面上所有点的集合,取亚个直
角坐标系,给亚个向量   (      )。令点(,)与’(’,’)的
对应关系为
   则有                                     (1.1)
                                                                                                                                                      
这是到自身亄个变换,称为由    决定的平移。公式(1.1)
称为平面上的点的平移公式。
    注：在形式上平移公式与点的
    坐标变换中的移轴公式类似,
    但是含意却完全不同:点的平
    移公式中,(,)和(’,’)是不同
    的两个点在丌坐标系中的坐标;而移轴公式中,(,)和(',')是丌个点在两个不同的坐标系中的坐标。 ;例5   平面上的旋转   是平面上所有点的集合,在平面上取定
一个直角坐标系｛;        ｝,令点(,)和’(’,’)的对应
关系τ为
                                             (1.2)
    其中，θ丯确定的实数,
    则τ是上亄个变换,称
    为平面绕原点的旋转,转角为θ。
   (1.2)称为平面上转角为θ的旋转公式。
;      例6 平面上的反射。设 是平面上条定直线,平面上任
点关于 的对称点为 ’。这种从点到’点的映射,称为平
面上以  为轴的反射。若取  为轴建立平面直角坐标系,设
(,),'(','),则此反射表示为
                                                         (1.3)
      设σ:→’,我们用σ()表示中的点在σ下的象的全体,
显然有                 。
      当σ()'时,则称σ是满射或到上的。如果在映射σ
下,中不同元素的象也不同,则称σ是单射(或11的)。既是
单射又是满射的映射称为双射(或11对应）。;     定义1.2 设映射     :→’,      :’→″,则定义乘积映射
为
   
    对于到’的双射σ,我们可以定义它的逆映射       ：
     若σ()’∈’,∈,则定义                       ,显然,
   
  易证,11对应的逆映射也是11对应,11对应的乘积  也是
11对应,映射的乘法满足结合律。
     定义1.3 设σ:→丯变换,若对∈,满足σ(),则称
是σ的不动点,｛∈σ()｝称为σ的不动点集。
;    平面上的平移与旋转的乘积称为平面上的运动(即刚体运
动),它是平面到自身上的11变换。
     例7  设σ是平面上由    (,)决定的平移,τ是平面上的
转角为θ的绕原点的旋转,
τσ,)    ″(″,″)    '(','),