第1章 线性空间与内积空间-20220808171734.ppt-原创力文档

幸福341

　　定理1.4.9  设     是线性空间 的两个子空间，则以下结论等价： 　　(1)　　　 是直和； 　　(3) 　　(4) 　　(2)　　　中零向量的表法丯，即若存在 使 第30页，共56页，编辑于2022年，星期五     定义1.4.4  设           是线性空间 的  个子空间，如果            　　　   ，其分解式   丯，则称れ　　 　      为直和，记为 第31页，共56页，编辑于2022年，星期五 　　定理1.4.10  设          是线性空间 的  个子空间，则以下结论等价： 　　(3) 　　(4) 　　(1)れ　　        是直和； 　　(2)れ　　       零向量的表法丯； 第32页，共56页，编辑于2022年，星期五 1.5  线性空间的同构 　　ヨ同构具有自反性、对称性和传递性。 　　定义1.5.1　设 与   都是数域  上的线性空间，如果存在 到   的双映射     满足 其中α,β是中任意向量， 是数域  中任意数，则称  为 到   的同构映射，并且称 与   是同构。 第33页，共56页，编辑于2022年，星期五 　    定理1.5.1  设 与   是数域  上同构的线性空间， 为  到    的同构映射，则 第34页，共56页，编辑于2022年，星期五 　　定理1.5.2　数域 上的两个有限维线性空间 与   同构的充分必要条件是它们的维数相同。 　　例1.5.1　设          是数域  上  维线性空间Ｖ 亄组基，定义映?　　    如下： 其?　　　　　是向量　在?　　　　下的坐标，?是Ｖ 到   的同构映射。 第35页，共56页，编辑于2022年，星期五 　　定义1.6.1　设 是数域上的线性空间，如果存在 到一个代数运算(α,β)，它满足条件： 1.6  内 积 空 间 其中 　　　　　　　　，则称 丯个内积空间，称(α,β)为α与β的内积。如果＝Ｒ，则称 为空间；如果 ＝Ｃ，则称 为酉空间。 第36页，共56页，编辑于2022年，星期五 　　在内积空间中，成立以下性质： 　　内积空间的例子： 第37页，共56页，编辑于2022年，星期五 　　方阵的迹具有以下性质： 第38页，共56页，编辑于2022年，星期五 的共轭转置矩阵。 　　矩阵的共轭转置具有下列性质： 第39页，共56页，编辑于2022年，星期五 　　定义1.6.2　设 是内积空间， 中向量α的长度定义为              ，长度为1的向量称为单位向量。     例1.6.1　 第40页，共56页，编辑于2022年，星期五 第1页，共56页，编辑于2022年，星期五     第2章  线性映射与线性变换     第1章  线性空间与内积空间     第3章 λ矩阵与矩阵的标准形     第4章 矩阵的因子分解     第7章 矩阵函数与矩阵值函数     第5章 矩阵与正定矩阵     第6章 范数与极限     第8章 广义逆矩阵 第2页，共56页，编辑于2022年，星期五 约定和常用符号    （1）集合用大写字母，，，表示，集合中的元素用小写字母，，表示. 第3页，共56页，编辑于2022年，星期五 第4页，共56页，编辑于2022年，星期五 1.1  预备知识 1.2  线性空间 1.3  基与坐标 1.4  线性子空间 1.5  线性空间的同构 1.6  内积空间  第1章  线性空间与内积空间 第5页，共56页，编辑于2022年，星期五 1.1  预备知识 　　元素      称为元素      在映射  下的像，称  为  的原像。集合  称为映射  的定义域，集合  称为映射  的值域。  　　定义1.1.1  设     是两个非空集合，如果存在对应法则         ，使得        ，按对应法则  ，在  中有丯元素  与之对应，则称  是  到  亄个映射,记为     映射的例子： 第6页，共56页，编辑于2022年，星期五 　　定义1.1.2　设　是非空集合，定义映?　　　  如下:  ヰ?上的恒等映射或单位映射。 　　定义1.1.３　设  是集合  到  亄个映射， 　　（1）如果         ，则称  是  到  的满映射； 　　（2）如゜              ，有           ，则称  是  到  的单映射； 　　（3）如果  既是单映射又是满映射，则称  是  到  上亄映射或称  是  到  的双映射。 第7页，共56页，