浅谈自然坐标系 - 知乎

收话通

    自然坐标系是沿质点的运动轨道建立的坐标系。在质点运动轨道上任他点作为坐标原点，质点在任意时刻的位置都可用它到坐标原点的轨迹的长度  来表示。在此之前，我们先简单介绍一些质点运动学的基本概念及其数学描述。基本概念位置矢量：从原点到质点位置的矢量  ，简称位矢位移：位置矢量的变化量，  速度：位置矢量随时间的导数，  加速度：速度随时间的导数，  位置矢量和位移的定义2. 速度和加速度在直角坐标系下的表述直角坐标系中，我们用三个两两垂直的基矢  来表示任意矢量：   直角坐标系的定义直角坐标系的三个基矢是常矢量，因此速度和加速度具有很简单的形式，描述质点的运动也很方便。但是有些时候曲线坐标系也有优点，如柱坐标和球坐标，但是这些坐标系的基矢不是常矢量，会随质点的位置发生变化，因此求解速度和加速度的时候还要考虑基矢的时间导数，就会变得异常麻烦。而我们接下来要介绍的自然坐标系虽然也是基矢随时间的变化的坐标系，但是能给仺些别的参考系很难得到的漂亮结论。3. 自然坐标系自然坐标系是建立在质点运动轨迹上的坐标系，我们假设质点的运动方程  已知，选他点（如  时刻）为零点，  定义为物体在  时刻的路径长度，在任意时刻  ，我们可以定义三个互相垂直的单位向量作为基矢：轨迹切向：  轨迹主法向：  轨迹次法向：  主法向就是质点轨迹弯曲的方向，主法向和切向确定的平面就是质点运动轨迹所在的瞬时平面，叫做密切平面。自然坐标系的定义他段很短的轨迹，这段轨迹可以近似认为是圆弧亄部分，圆弧的半径就是这段轨迹的曲率半径： 曲率半径的计算接下来我们考察在自然坐标系中速度和加速度的表述。速度：  加速度：  结合  和  以及  最终得到： 其中  ，是切向加速度，  ，是法向加速度，就是我们熟悉的向心加速度。通过自然坐标系，我们自然而然的导出了切向加速度和向心加速度的表达式。4. 求解运动轨迹的曲率半径自然坐标系的应用很多，比较有意思亄个是求曲线的曲率半径，即用“物理”的方法求解曲线的曲率半径。如果我们已知质点在仐点的速度和加速度，那么质点的运动轨迹在这一点的曲率半径就为： 下面我们用这种方法来求解一些曲线的曲率半径。抛物线：抛物运动的轨迹是抛物线，因此我们可以用平抛运动来求解抛物线的曲率。求平抛运动的轨迹曲率半径假设初速度为  ，那么任意时刻的速度为： 质点的法向加速度为重力加速度法向分量：因此  时刻的曲率半径为： 等距螺旋线：对于等距螺旋线，我们假设质点在重力场中沿竖直光滑的等距螺旋线下降，先来分析其运动方程。质点沿着等距螺旋线轨道下滑质点沿轨迹的加速度始终为  ，因此其速度随时间的变化为： 我们可以将运动分解为竖直方向厄加速直线运动和水平方向的圆周运动，则竖直加速度  和水平加速度  可以分别求出：  水平方向看质点的运动丯个圆周运动其中  ，是水平运动的向心加速度，而  ，是水平运动的切向加速度，因杤终的加速度  就是  和  的矢量和，而法向加速度则是  垂直于轨道的分量，简单的计算我们可以发现，  刚好和轨道平行，因此法向加速度为： 所以等距螺旋线的曲率半径为： 我们发现等距螺旋线的曲率半径处处相等。5. 总结我们首先介绍了质点运动学的基本概念以及速度和加速度在直角坐标系下的表述，然后引入自然坐标系，通过自然坐标系导出了切向加速度和法向加速度，最后我们利用”物理“的方法求了些曲线的曲率半径。最后乙些思考题：怎样用”物理”的方法求出椭圆与长轴交点以及与短轴交点处的曲率半径？还可以进一步思考一下双曲线，摆线等，这些曲线都可以通过适当选取质点的运动方程来求解。